14.07 Перпендикулярность. Доказательство базовых фактов

Лемма 1

Плоскости и параллельны. Тогда для всех точек плоскости расстояния до плоскости равны.

Доказательство

Возьмем две произвольные точки и докажем, что расстояние от до равно расстоянию от до . Расстояние от точки до плоскости по определению равно длине перпендикуляра из этой точки на эту плоскость. Опустим перпендикуляры и на плоскость . Прямые и лежат в одной плоскости, так как обе перпендикулярны плоскости . Прямые и также лежат в этой плоскости, т.е. они параллельны, либо пересекаются. Если бы они пересекались в некоторой точке , то эта точка принадлежала бы одновременно плоскостям и , что противоречит . Значит, , и тогда из курса планиметрии мы знаем, что .

Решение

Докажем, что от плоскости на расстояние удалены те и только те точки, которые принадлежат двум плоскостям и , параллельным и удаленным от на . По Лемме 1 очевидно, что все точки таких двух плоскостей действительно будут на расстоянии от .

Любая же точка, не принадлежащая этим плоскостям, будет удалена от на расстояние, меньшее , если она находится в части пространства между и , и на расстояние, большее , в противном случае.