14.07 Перпендикулярность. Доказательство базовых фактов

Пусть — основание перпендикуляра из на , — середина . Тогда для любых точек и таких, что , — середина , выполняется как средняя линия. Исходя из этого логично предположить, что искомое ГМТ — плоскость , проходящая через и параллельная .

Докажем, что любая точка принадлежит ГМТ.

Пусть . (т.к. ), причем — середина . Тогда является серединой , а значит, действительно принадлежит ГМТ.

Докажем теперь, что никакая точка не принадлежит ГМТ.

Пусть , (если одно из эти пересечений является пустым, то точно не принадлежит ГМТ). Если , то очевидно не принадлежит ГМТ. Тогда, аналогично вышеописанной ситуации, — середина , но . Таким образом, не принадлежит ГМТ.