14.07 Перпендикулярность. Доказательство базовых фактов

Прямой факт:

Пусть даны , , , . Требуется доказать, что .

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна. Следовательно, проведем через и плоскость . По признаку перпендикулярности двух плоскостей .

Из построения следует, что прямая , она же прямая , есть линия пересечения плоскостей и . Пусть не перпендикулярна . Проведем через точку прямую в плоскости . Тогда перпендикулярна любой прямой из , следовательно, . Так как и лежат в одной плоскости (как две пересекающиеся прямые) и перпендикулярны прямой из этой плоскости, то они параллельны. Получили противоречие с тем, что

Обратный факт:

Прямые в пространстве могут быть параллельны, пересекаться или скрещиваться.

1.

. Пусть , , , .

Тогда . Три точки образуют плоскость , в которой лежат прямые (так как лежат две точки каждой прямой в этой плоскости). Но в плоскости если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны, следовательно, . Противоречие.

2.

. Пусть , , , .

Через точку прямой проведем прямую . По прямому факту получаем, что . Следовательно, получаем пункт 1., который невозможен.

Чтд.