14.08 Тела вращения. Доказательство базовых фактов

Рассмотрим параллелепипед . Пусть — равноудалена от всех вершин параллелепипеда. Для пирамиды эта сфера также является описанной, следовательно, около можно описать окружность ( — ее центр, ). Если около параллелограмма можно описать окружность, то он — прямоугольник, следовательно, — прямоугольник. Аналогично доказывается, что все остальные грани — прямоугольники. Следовательно, параллелепипед прямоугольный.

Заметим, что — точка пересечения диагоналей параллелепипеда. Действительно, диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка пересечения диагоналей равноудалена от всех вершин параллелепипеда.