14.08 Тела вращения. Доказательство базовых фактов

Докажем, что если в цилиндр вписан шар, то высота цилиндра равна диаметру основания цилиндра.

Если шар вписан в цилиндр, то он касается кругов-оснований цилиндра в их центрах, то есть в точках и , и касается всех образующих цилиндра.

Так как перпендикулярна основаниям цилиндра и каждая точка высоты равноудалена от двух противоположных образующих цилиндра, то центр шара находится на отрезке , причем в его середине. Следовательно, радиус шара

Так как отрезки касательных, проведенных из одной точке вне шара в шару, равны, то если — точка касания шара и образующей , то и . Отсюда . Чтд.

Докажем, что если высота цилиндра равна диаметру основания цилиндра, то есть , то в цилиндр можно вписать шар.

Докажем, что центр шара, вписанного в цилиндр, лежит в середине отрезка , а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра.

Пусть — середина , — центры оснований цилиндра. Так как перпендикулярна основаниям цилиндра, то точка равноудалена от оснований цилиндра, причем на расстояние . Пусть — середина образующей . Тогда — квадрат, следовательно, . Расстояние от точки до любой точки образующей , отличной от точки , будет больше , так как отрезок является гипотенузой в прямоугольном треугольнике . Следовательно, если взять шар с центром в точке и радиусом , то образующая будет касательной к этому шару. Так как образующую мы выбрали произвольно, получаем, что любая образующая цилиндра касается полученного шара. Чтд.