14.08 Тела вращения. Доказательство базовых фактов

Докажем, что касательная к цилиндру плоскость перпендикулярна осевому сечению цилиндра, проведенному через ту же образующую , что и .

Пусть проходит через образующую и не имеет с конусом других общих точек. Пусть — плоскость осевого сечения цилиндра, проходящая через . Пусть — плоскость верхнего основания цилиндра, , . Так как проходит через точку верхнего основания и не имеет с ним других общих точек, прямая — касательная к верхнему основанию. Прямая содержит диаметр верхнего основания, проходящий через . Так как диаметр окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то . Кроме того, , откуда . Значит, Чтд.

Докажем, что плоскость , проходящая через образующую перпендикулярно осевому сечению цилиндра, проведенному через , является касательной к цилиндру, то есть не имеет с ним никаких общих точек, кроме точек образующей .

Пусть — плоскость осевого сечения цилиндра, проходящая через . Пусть — плоскость, перпендикулярная и пересекающая цилиндр. Сечения цилиндра плоскость — круг Circle, равный основаниям цилиндра (так как параллельна плоскостям оснований цилиндра). , прямая содержит диаметр круга Circle, , причем , . Из следует, что — касательная к Circle, то есть — единственная общая точка и Circle. Так как плоскость была выбрана произвольно (может проходить через любую точку образующей ), получаем, что не имеет с цилиндром общих точек, не лежащих на Чтд.

: 1) ; 2) , .