14.12 Нахождение площади сечения

а) Обозначим через плоскость сечения. Плоскости и параллельны, следовательно, плоскость сечет их по параллельным прямым. Плоскость пересекает по прямой Докажем, что прямая параллельна из этого будет следовать, что она лежит в так как .

Прямые в силу правильности шестиугольника так как в нем следовательно, сумма односторонних углов равна Прямые следовательно, Тогда лежит в и — искомое сечение. Кроме того, в четырехугольнике противолежащие стороны и параллельны и не равны, следовательно, — трапеция.

б) Способ 1.

В правильном шестиугольнике также по условию По теореме Пифагора для треугольника

Найдем полупериметр трапеции:

Равнобокую трапецию можно вписать в окружность, тогда по формуле Брахмагупты ее площадь равна

Способ 2.

Введём векторный базис из векторов Длины этих векторов Из определения правильной призмы и а поскольку шестиугольник — правильный, то прямые и образуют угол Тогда можно посчитать скалярное произведение:

В пункте а) было ранее доказано, что — трапеция. По свойствам правильного шестиугольника диагональ Тогда для определения площади сечения можно сначала посчитать площадь треугольника после чего домножить её на поскольку площадь составляет половину от площади Выразим векторы и через базисные вектора и найдём квадраты длин:

Таким образом,

Тогда площадь трапеции равна