14.14 Расстояние от точки до плоскости

а) Обозначим за плоскость Продлим прямую до пересечения с прямой в точке Точка лежит в плоскости а также в плоскости Тогда и лежит в плоскости значит, точка пересечения и и есть точка

Так как то по двум углам с коэффициентом подобия, равным

Тогда

Так как то по двум углам с коэффициентом подобия, равным

Тогда имеем:

Получили, что — середина что и требовалось.

б)

Способ 1.

Пусть — объем пирамиды — искомое расстояние от точки до плоскости Заметим, что совпадает с высотой из точки на плоскость Тогда можем записать двумя способами:

По теоремам Пифагора для треугольников

По теореме косинусов для угла треугольника

Способ 2.

Произведем дополнительное построение. Пусть — основание высоты из в треугольнике а основание высоты из в треугольнике Докажем, что перпендикулярно плоскости

По теореме о трех перпендикулярах так как Тогда и перпендикулярна плоскости Тогда так как лежит в при этом по построению. Получили, что перпендикулярна прямым и из плоскости а значит перпендикулярна всей плоскости. Осталось найти длину чтобы решить задачу.

Треугольник — прямоугольный, тогда его высота равна

Аналогично для треугольника