14.14 Расстояние от точки до плоскости
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана треугольная призма 
Точка 
— середина ребра 
Плоскость 
проходит через ребро 
и
перпендикулярна прямой 
а) Докажите, что одна из диагоналей грани 
равна одной из ее сторон.
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
если 
делит ребро 
в отношении 
считая от точки 
и 
а) По условию 
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой
плоскости, в частности, 
Так как 
— призма, то 
следовательно, 
Рассмотрим треугольник 
в одноименной плоскости. Отрезок 
является его медианой и высотой, значит,
— равнобедренный, то есть 
Таким образом, в грани 
диагональ 
равна стороне
б) Пусть плоскость 
пересекает прямую 
в точке 
прямую 
— в точке 
, прямую 
— в точке 
Заметим, что все эти три точки лежат в грани 
Значит, они лежат на прямой пересечения грани 
плоскостью
Нам нужно найти расстояние от точки 
до плоскости 
то есть длину 
так как 
а 
— точка пересечения
и 
По условию имеем:
Отсюда получаем
По условию 
значит, 
Тогда 
Рассмотрим треугольники 
и 
Они подобны, так как 
— общий и 
как
соответственные углы, образованные параллельными прямыми 
и 
и секущей 
Тогда имеем:
Найдем 
По условию 
— середина 
значит,
Треугольник 
— прямоугольный, тогда по теореме Пифагора:
Таким образом,
Отсюда 
Теперь можем найти длину 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
