14.14 Расстояние от точки до плоскости
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании пирамиды с вершиной 
лежит прямоугольник 
со
сторонами 
и 
Все боковые рёбра пирамиды равны 
На
рёбрах 
и 
отмечены точки 
и 
соответственно так, что
Плоскость сечения проходит через точки 
и 
перпендикулярно ребру 
а) Докажите, что плоскость сечения пересекает ребро 
в его середине.
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости сечения.
а)
1. Проведём диагональ 
и отрезок 
которые пересекаются в точке
2. Рассмотрим 
и 
как накрест лежащие, 
как накрест
лежащие и 
откуда 
и 
равны по двум углам и
стороне.
3. У равных треугольников равные соответствующие элементы, следовательно,
Это в свою очередь означает, что точка 
— точка пересечения
диагоналей прямоугольника в основании, то есть принадлежит плоскости
сечения.
4. Рассмотрим прямоугольный 
По теореме Пифагора:
откуда 
5. Рассмотрим 
По обратной теореме Пифагора:
откуда получаем, что 
—
прямоугольный.
6. Провед̈eм 
Тогда 
— средняя линия по определению, откуда
— середина ребра 
7. 
поскольку 
Следовательно, точка 
также
принадлежит плоскоскости сечения, ведь эта плоскость перпендикулярна ребру
Ч.Т.Д.
Для профилактики доведём построение сечения до конца.
1. Продлим прямую 
до точки пересечения с прямой 
— точки
Проведём отрезок 
пересекающий 
в точке 
Проведём
2. Поскольку 
— прямоугольник, то длины противоположных сторон
равны, откуда 
3. Рассмотрим 
и 
и 
— один и тот же угол, откуда 
4. Из выявленного подобия выводим отношения отрезков:
5. Запишем теорему Менелая для 
и секущей 
Теперь мы знаем положение всех вершин сечения и его построение полностью завершено.
б)
1.
Факт: расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту плоскость.
2. Заметим, что раз 
и 
плоскости сечения, то 
плоскости
сечения. То есть расстояния от каждой точки данной прямой до этой
плоскости одинаковы.
3. Таким образом, мы можем найти расстояние от точки 
до плоскости
сечения и автоматически найти ответ.
4. Поскольку ребро 
плоскости сечения, то 
— перпендикуляр,
опущенный из точки 
на плоскость сечения (то есть его длина равна искомому
расстоянию). Длина 
равна половине длины ребра 
(
— середина 
),
то есть 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
