14.15 Угол между прямой и плоскостью

а) Рассмотрим основание . Так как , то равносторонний, следовательно, . Тогда , где – точка пересечения диагоналей ромба. Тогда по теореме Пифагора , следовательно, .
По обратной теореме Пифагора, так как , треугольник является прямоугольным с прямым углом . Следовательно, .
Заметим, что по трем сторонам. Следовательно, .
Предположим, что – не высота пирамиды. Тогда опустим высоту . Проведем и . Тогда по теореме о трех перпендикулярах и .
Прямоугольные треугольники и равны по общему катету и острому углу, следовательно, . Отсюда следует, что прямоугольные треугольники и также равны по катету и гипотенузе, следовательно, . Следовательно, точка равноудалена от сторон угла , значит, лежит на его биссектрисе.
Таким образом, мы доказали, что основание высоты, проведенной из точки , будет лежать на прямой, содержащей биссектрису угла (то есть на прямой ).
Но тогда из точки проведены две прямые и , перпендикулярные , что невозможно. Следовательно, точки и совпадают.
 

 

б) Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Заметим, что как диагонали ромба, и , так как – высота пирамиды. Следовательно, . Значит, – проекция на плоскость . Таким образом, нужно найти угол . Обозначим его за .
 

 
По теореме Пифагора из :

мы находили ранее и оно равно .
Так как прямоугольный (), то