14.16 Угол между плоскостями

а) Из условия следует, что призма прямая и основания являются квадратами.

Так как — средняя линия в то Тогда плоскость пересечет плоскость по прямой параллельной прямой В противном случае прямая и плоскость сечения имеют общие точки, но это невозможно, поскольку прямая параллельна прямой плоскости , а значит параллельна и самой плоскости сечения.

Таким образом, найдем точку, в которой плоскость пересекает плоскость

Пусть плоскость пересекает в точке Тогда Если и — точки пересечения диагоналей оснований, то прямые и лежат в плоскости Пусть — точка их пересечения. Тогда — искомая точка пересечения плоскости и плоскости

Проведем через точку прямую параллельно Пусть она пересекла прямую в точке прямую в точке Таким образом, получили сечение призмы плоскостью

Так как — средняя линия треугольника то она пересекает в её середине, то есть — середина Значит,

В плоскости рассмотрим треугольники и В них как вертикальные и Значит, Запишем отношение их подобия:

С другой стороны, так как

б) Так как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны между собой, то общая прямая плоскости сечения и нижнего основания призмы параллельна а значит, параллельна и параллельна Найдем две прямые, перпендикулярные и построим соответствующий линейный угол.

Заметим, что следовательно, так как то и по теореме о трех перпендикулярах. Значит, равен углу между плоскостями и

По теореме Фалеса имеем:

Так как то

Следовательно,

Кроме того,

Тогда окончательно имеем: