14.16 Угол между плоскостями

Рассмотрим треугольник и найдем его проекцию на плоскость . Точка лежит на пересечении плоскостей и . Тогда найдем проекции точек и на . По условию — высота пирамиды , значит, . Тогда проведём через точку прямую, параллельную . Эта прямая будет лежать в плоскости . Рассмотрим треугольник . В нем через середину точку мы провели прямую, параллельную его стороне , то есть среднюю линию. Значит, она пересечет в середине — точке .

Через точку проведём прямую, параллельную . Эта прямая будет лежать в плоскости . Рассмотрим треугольник . В нем через точку мы провели прямую, параллельную его стороне . Пусть она пересекает сторону в точке . Тогда по теореме о пропорциональных отрезках .

Мы получили, что — проекция на плоскость . Пусть — искомый угол между плоскостями и . Тогда мы знаем, что

Найдём площадь треугольника . По условию , тогда и . Так как — прямоугольный треугольник по условию, тоже является прямоугольным, тогда

Найдём площадь треугольника . По условию , значит, прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости , в частности, и . Тогда треугольники , и равны по первому признаку равенства треугольников: , а по условию. В равных треугольниках соответствующие элементы равны, значит, по теореме Пифагора

Рассмотрим треугольник . В нём является медианой, которая проведена к гипотенузе , значит, .

Рассмотрим треугольники и . Они подобны, так как по построению. Тогда

Рассмотрим треугольник . Докажем, что он прямоугольный. По построению , а , следовательно, . Тогда по теореме Пифагора

Найдём . Рассмотрим треугольник . Он равносторонний, так как . Значит, . Теперь рассмотрим треугольник и по теореме косинусов найдём длину :

Заметим, что , , . Тогда

Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона. Пусть — полупериметр .

Тогда мы можем найти угол между плоскостями и :