14.16 Угол между плоскостями

а) Найдем точку пересечения плоскости (назовем ее плоскостью ) и плоскости . Пусть и – точки пересечения диагоналей оснований и соответственно. Тогда лежит в плоскостях и . По теореме Фалеса прямая пересекает в середине, назовем эту точку точкой . Таким образом, .
 

 
Проведем прямую . Она будет пересекать либо ребро , либо отрезок .
Для того, чтобы это определить, найдем отношение, в котором точка делит . Рассмотрим .
 

 
По условию , следовательно, пусть , тогда . Так как трапеция равнобедренная, то . Следовательно,

Рассмотрим :
 

 
Заметим, что , следовательно, . Пусть – точка пересечения прямой и . Тогда, так как к тому же , , следовательно, . Так как , то тогда .
Следовательно, плоскость пересечет отрезок .

 

Заметим, что прямая параллельна плоскости , так как . Тогда пересечет основание по прямой , параллельной . Действительно, если это не так, то есть пересекается с , следовательно, плоскость и имеют общую точку, что противоречит их параллельности.
Таким образом, нужно через точку провести прямую, параллельную . Пусть она пересечет в точке , а в точке . Так как и , то по теореме Фалеса .
Сечение – пятиугольник .
 

 

б) – линия пересечения плоскостей и . Заметим, что так как , а , то . Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная . Следовательно, – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и .
Из пункта а) мы определили, что , следовательно, . Тогда , следовательно, .
Из пункта а): , , .
Следовательно, , следовательно, ; .
 
Тогда из прямоугольного :