14.16 Угол между плоскостями

Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами, то основание высоты пирамиды — центр вписанной в основание пирамиды окружности. Докажем это.

Опустим высоту пирамиды к основанию Опустим перпендикуляры на стороны По теореме о трех перпендикулярах перпендикулярны сторонам треугольника

Тогда по определению — линейные углы двугранных углов, образуемых боковыми гранями пирамиды и ее основанием. Следовательно, по общему катету и острому углу Следовательно, Таким образом, — центр вписанной в окружности радиуса

Так как равнобедренный, то точка лежит на высоте треугольника, проведенной к основанию.

По теореме Пифагора в треугольнике имеем:

Найдем радиус вписанной окружности через площадь и периметр основания:

Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнке имеем: