Тема 13. Решение уравнений

13.13 Уравнения на метод оценки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#598

Решить уравнение

(cos 4x + cos2x )2 = 5 − |cos 3x|

Показать ответ и решение

Т.к. значение косинуса любого угла принадлежит промежутку $[− 1; 1]$ , то при всех значениях $x$ :

(cos 4x + cos2x )2 ≤ 4 5 − |cos 3x| ≥ 4

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы

( [ { | cos 4x + cos2x = 2 (cos4x + cos 2x)2 = 4 { ⇒ | cos 4x + cos2x = − 2 5 − |cos3x | = 4 ( cos 3x = ±1

Опять же, в силу ограниченности косинуса $− 2 ≤ cos4x + cos 2x ≤ 2$ , следовательно, уравнение $cos4x + cos 2x = 2$ равносильно системе ${ cos4x = 1 cos2x = 1$

Аналогично с уравнением $cos 4x + cos2x = − 2$ . Тогда вся система примет вид:

( ⌊ { ||| cos4x = 1 ( [ ||| || cos2x = 1 | x = πn |{ | { |{ |⌈ cos4x = − 1 ⇔ x ∈ ∅ n, k ∈ ℤ ⇔ x = πn,n ∈ ℤ ||| ||( x = π-k |||| cos2x = − 1 3 ( cos3x = ±1

Ответ:

$πn, n ∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#15023

Решите уравнение $( π) sin 4x + 2 ⋅cosx= 1.$

Показать ответ и решение

( π) sin 4x+ 2 ⋅cosx = 1 cos(4x)cosx= 1

Так как $|cos4x|≤ 1,$ $|cosx|≤ 1,$ имеем

$pict$

Ответ:

$2πk,$ $k ∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16784

Решите уравнение $cosx+ cos(5x)= 2.$

Показать ответ и решение

$({ cosx + cos(5x)= 2 ⇐|c=o=s=x|=≤=1,= |=c=os=(==5x=)=|≤=1⇒ cosx = 1 ⇔ ( cos(5x)= 1 ( ⇔ { x= 2πn , n∈ ℤ ⇔ |x=-2πn,-n∈-ℤ-| ( 5x= 2πn --------------|$

Ответ:

$2πn, n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1896

Решить уравнение

2cos(0,1x ) = 2x + 2−x

Показать ответ и решение

Т.к. область значений косинуса — отрезок $[− 1;1]$ , то для любого $x$ имеем: $− 2 ≤ 2cos(0,1x ) ≤ 2$ .

Т.к. $x − x x 1-- 2 + 2 = 2 + 2x$ , то данное выражение представляет собой сумму двух положительных взаимно обратных чисел.
Такая сумма всегда $≥ 2$ (см. теорию “Рациональные уравнения” из раздела “Решение уравнений. Часть I”).

Таким образом, левая часть уравнения всегда $≤ 2$ , а правая $≥ 2$ . Значит, два этих выражения могут быть равны тогда и только тогда, когда

( { 2cos(0,1x ) = 2 { { ⇔ cos(0,1x) = 1 ⇔ x = 20πn, n ∈ ℤ ⇔ x = 0 ( 2x + 1--= 2 2x = 1 x = 0 2x

Ответ:

$x ∈ {0 }$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2410

Решите уравнение

( ) 5x2 + 52−x2 = 5 1 + sin πx 2

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, разделив обе части равенства на $5$ :

5x2−1 + 51−x2 = 1 + sin πx ⇔ 5x2−1 + --1-- = 1 + sin π-x 2 5x2−1 2

Заметим, что левая часть представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел: $1 t + t$ , причем положительных. Как известно, сумма двух положительных взаимно обратных чисел не превосходит $2$ , следовательно,

1 5x2−1 + --2-- ≥ 2 5x −1

Заметим, что $π- sin 2x ≤ 1$ при всех $x$ , следовательно, правая часть

π- 1 + sin 2 x ≤ 2

Таким образом, равенство может достигаться тогда и только тогда, когда обе части равенства равны $2$ :

( 1 |{ 5x2−1 + --2-- = 2 5x −1 |( π- 1 + sin2 x = 2

Сумма взаимно обратных чисел равна $2$ тогда и только тогда, когда каждое из них равно $1$ , следовательно:

( ( | 5x2−1 = 1 | x2 − 1 = 0 ( { { { x = ±1 | π ⇔ | π π ⇔ ( ⇔ x = 1. ( sin --x = 1 ( --x = --+ 2 πn,n ∈ ℤ x = 1 + 4n,n ∈ ℤ 2 2 2

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#16785

Решите уравнение

4 4 sin x+ cosx = 1

Показать ответ и решение

Перепишем исходное уравнение в виде

4 4 2 2 sin x+ cosx = sin x+ cos x

Так как $|sinx|≤ 1$ и $|cosx|≤ 1,$ то

4 2 4 2 4 4 2 2 sin x ≤ sin x, cos x≤ cos x ⇒ sin x +cos x≤ sin x +cos x

Таким образом, неравенство выше обращается в равенство только если

$( ( ( { sin4x= sin2x { sin2x(sin2x− 1)= 0 {sin x= 0;±1 ⇔ ⇔ ⇔ ( cos4x = cos2x ( cos2x(cos2x − 1) =0 (cosx= 0;±1 (|⌊ ||||⌈x = πn ⌊------------------| |{ x = π2 +πn ⌈x = π2 +πn | ⇔ ||⌊x = π +πn , n ∈ℤ ⇔ |x = πn , n ∈ℤ| ||||(⌈ 2 -------------------- x = πn$

Ответ:

$π 2 + πn, πn, n∈ ℤ$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#46564

а) Решите уравнение $sin (4x + π) ⋅cosx =1. 2$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[11π;13π].$

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения и по методу оценки имеем:

$( π) |cos4x|≤1, |cosx|≤1 sin 4x + 2 ⋅cosx= 1 ⇔ cos(4x)cosx= 1 ⇐=============⇒ ⌊{cos4x= 1 || cosx =1 ⇐|=c=os=4=x=|≤=1=,= |c=o=s=x|=≤=1⇒ ||{ ⇔ ⌈ cos4x= − 1 ⌊ { cosx =⌊−{ 1 4x= 2πn x = π2n || x =2πn || x =2πn ⇔ || {4x= (2n+ 1)π , n∈ ℤ ⇔ ||{x = π+ πn , n ∈Z ⌈ ⌈ 4 2 x =(2n+ 1)π x =(2n +1)π$

Отсюда получаем $x= 2πn,n ∈ℤ.$

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[11π;13π]:$

11π ≤ x≤ 13π ⇒ 11π ≤ 2πn ≤13π ⇒ n= 6

Таким образом, отрезку $[11π;13π]$ принадлежит только корень $x= 12π.$

Ответ:

а) $2πn, n∈ ℤ$

б) $12π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел