Тема 17. Задачи по планиметрии

17.14 Вписанная и вневписанная окружности

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105929

Вписанная в треугольник ABC  окружность с центром I  касается сторон BC, CA, AB  в точках A1, B1, C1  соответственно. Точка M  — середина BC.  Докажите, что прямые B1C1, AM  и IA1  пересекаются в одной точке.

Показать доказательство

Обозначим точку пересечения A1I ∩C1B1  буквой X,  а точку пересечения AM  ∩C1B1  буквой X ′.  По условию просят доказать, что это на самом деле одна и та же точка. Докажем тогда, что

C1X :XB1 = C1X′ :X ′B1

PIC

Для этого посчитаем всё в синусах:

C1X-= IC1-⋅sin∠XIC1- =
XB1   IB1 ⋅sin∠XIB1

= sin∠B--= CA-=
  sin∠C    AB

= -CAsin∠CAM--⋅ sin∠BAM---=
  AB sin∠BAM    sin∠CAM

   CM   sin∠BAM
= BM--⋅ sin∠CAM---=

   AC1sin-∠BAM--- C1X-′
=  AB1sin ∠CAM  = B1X ′

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!