17.14 Вписанная и вневписанная окружности

Пусть — треугольник с прямым углом при вершине . Сразу ясно, что возможны два случая: обе окружности касаются катетов либо одна из окружностей касается гипотенузы.

I случай

Пусть — центр вневписанной окружности, касающейся стороны , — центр вневписанной окружности, касающейся стороны . Точки , , , — соответствующие точки касания с прямыми, содержащими стороны треугольника. Тогда , так как соответствующие радиусы в точки касания перпендикулярны касательным, при этом угол треугольника прямой, значит, и — прямоугольники. Кроме того, , как отрезки касательных и — квадраты.

Точки и равноудалены от сторон углов с вершиной в точке точки , лежат на биссектрисах этих углов точки , , лежат на одной прямой. Окончательно по теореме Пифагора .

II случай

Пусть — центр вневписанной окружности, касающейся стороны , — центр вневписанной окружности, касающейся стороны . Точки , , , — соответствующие точки касания с прямыми, содержащими стороны треугольника. Тогда , так как соответствующие радиусы в точки касания перпендикулярны касательным, при этом угол треугольника прямой, значит, и — прямоугольники. Кроме того, , как отрезки касательных и — квадраты.

Пусть — точка пересечения прямой и отрезка . Тогда очевидно, что — прямоугольник и , , . Окончательно по теореме Пифагора .