17.14 Вписанная и вневписанная окружности

1 способ

Рассмотрим прямоугольный , пусть . Проведем радиусы в точки касания. Обозначим также радиус .
 

 

Рассмотрим четырехугольник . У него 3 угла прямые, следовательно, по признаку он является прямоугольником. Также соседние стороны () у него равны. Следовательно, все его стороны равны (то есть это квадрат). Таким образом, .

 

Значит, , . Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны, то , .
Таким образом, гипотенуза . Но с другой стороны гипотенуза равна . Таким образом,

2 способ

Как известно, площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Т.к. , , то

По теореме Пифагора , следовательно, . Сделаем преобразования: