17.14 Вписанная и вневписанная окружности

Обе точки и не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.

Пусть обе точки и лежат на сторонах треугольника. Четырёхугольник — вписанный, следовательно,

Значит, треугольник подобен треугольнику , так как угол — общий.

Пусть вписанная окружность касается стороны в точке , и — полупериметры треугольников и соответственно. Тогда

значит, коэффициент подобия треугольников равен . Следовательно,

Пусть точка лежит на продолжении стороны . Вписанные углы и равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. Значит, треугольник подобен треугольнику , так как угол — общий. Эти треугольники описаны около одной и той же окружности, следовательно, коэффициент подобия равен 1, т. е. треугольники равны, поэтому .

Заметим, что и точка действительно лежит на продолжении стороны .

Если же точка лежит на продолжении стороны , то , но аналогично предыдущему случаю получаем, что . Значит, этот случай не достигается.