5.05 Задачи повышенного уровня сложности

Данная задача является классической задачей на условную вероятность. У нас есть две группы событий: «болен — не болен» и «тест положительный — тест отрицательный». Всего может быть 4 комбинации случаев:

1.

болен и тест положительный (б +);

2.

болен и тест отрицательный (б —);

3.

здоров и тест положительный (з +);

4.

здоров и тест отрицательный (з —).

«Если заболевание есть, то тест подтверждает его в 86% случаев». Эта фраза означает, что условная вероятность того, что тест будет положительным при условии, что человек болен — 86%, или иначе

Исходя из этой вероятности, нетрудно понять, что с вероятностью 14% тест будет отрицательным при условии, что человек болен, или иначе

«Если нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев». Эта фраза означает, что условная вероятность того, что тест будет отрицательным при условии, что человек здоров — 94% или иначе

Исходя из этой вероятности, нетрудно понять, что с вероятностью 6% тест будет положительным при условии, что человек здоров, или иначе

«Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование». Эта фраза означает, что вероятность положительного теста 10%, или иначе

Соответственно, вероятность отрицательного теста равна

«При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?» Просят найти условную вероятность того, что человек болен при условии, что тест положительный, или иначе просят найти

Для начала распишем вероятность положительного теста. Тест может быть положительным либо у здоровых пациентов, либо у больных. Тогда по формуле полной вероятности имеем:

Здесь — вероятность того, что случайно выбранный пациент болен, а — вероятность того, что случайно выбранный пациент здоров. Подставив численные значения известных вероятностей в уравнение выше, найдем

Используем свойство условных вероятностей, согласно которому

Тогда получим окончательно