5.05 Задачи повышенного уровня сложности

Мы не знаем вероятность победы команды А ни в каком раунде (прямым текстом в условии об этом не говорится), но мы можем выстроить гипотетический порядок побед и поражений команды А, чтобы компенсировать этот недостаток информации.

Смотрим в условие: «Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее.» То есть в любом возможном исходе все 6 команд так или иначе встают в некоторую турнирную таблицу — от самой слабой команды до самой сильной.

Ещё раз, все команды разной силы, ничья невозможна, значит, можем выстроить следующие цепочки событий в тр̈eх благоприятных для нас ситуациях:

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (А), (не А), (не А).

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (А), (не А).

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (не А), (А).

1. Как вы понимаете, мы не знаем точное ранжирование сил команд, но нам важно, чтобы команда А попала ровно на 3 место по силе, места 1, 2 и 6, 5, 4 могут быть заняты кем угодно. Что значит это "кем угодно"? Что нужно учесть все варианты расположения остальных 5 команд:

Это число исходов, где команда А третья из шести по силе.

Резонный вопрос: а что это за ? Ответ: мы не знаем, с какой именно командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем, что к его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот исход, где одна команда более сильная, а другая менее, и тот, где ситуация обратна.

Теперь заметим самую хитрую мелочь: вероятность выиграть в этих 12 исходах у команды А нулевая. Почему?

Да потому что если команда А третья по силе, то как же она выступит в 4 раунде, когда осталась только она, команда сильнее её и команда сильнее их обеих? Очевидно, она проиграет в раунде с обеими более сильными командами.

Таким образом, вероятность победы в первом случае равна 0.

2. По аналогичному принципу ищем число исходов, где команда А вторая по силе:

Резонный вопрос: а что это за ? Ответ: мы не знаем, с какой именно командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем что к его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот исход, где одна команда сильнее А, а другая слабее, и тот, где ситуация обратна.

Опять же вопрос: а какова вероятность, что с наличием одной более слабой и одной более сильной команды в оппонентах команда А победит? С вероятностью Либо она сыграет со слабой и победит, либо сыграет с сильной и проиграет. Третьего не дано.

3. Ну и самый лёгкий случай: команда А — сильнейшая из шести. Число исходов, где команда А первая по силе:

Раз команда сильнейшая, то она победит в четвёртом раунде с вероятностью 1.

Заметим, что всего исходов при условии, что А выиграла первые три раунда:

Собер̈eм воедино кусочки ответа: