17.16 Ортоцентр и его свойства

Пусть — точка симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника Докажем, что четырехугольник вписанный, что равносильно утверждению задачи.

Прямоугольные треугольники и равны по двум катетам: по построению, — общий катет. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит,

При этом так как — вписанный четырёхугольник.

Тогда в четырёхугольнике равны углы, опирающиеся на сторону

Следовательно, — вписанный четырехугольник. Значит, лежит на описанной окружности треугольника

В этой задаче случаи прямоугольных и тупоугольных треугольников не разбираются отдельно. Несложно убедиться, что они устроены практически аналогично.