Гармонический четырёхугольник

Лемма. Пусть — точки на окружности. Тогда

Доказательство. Выберем на окружности точку и перепишем определение двойного отношение через синусы углов:

Из теоремы синусов известно, что

где — радиус описанной окружности. Тогда

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть тогда в силу леммы

следовательно,

то есть четырёхугольник гармонический.

В обратную сторону, если

то

Предположим, что Для точки на окружности верно, что

но если двойное отношение четверки прямых равно то две из них совпадают, что неверно, поскольку точки различны, следовательно,