Гармонический четырёхугольник

Пусть и – вторые точки пересечения с окружностью прямых и соответственно. В силу симметрии относительно прямой , дуги и равны. Следовательно,

Первое решение.

Обозначим эти равные углы через . Из вписанности четырёхугольника получаем, что . Следовательно, поскольку – центр , имеем C другой стороны, . Вычитая общую дугу , получаем, что , откуда

Значит, , и треугольники и подобны по двум углам, откуда , так что

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что , как вписанный угол в окружности , опирающийся на её диаметр , поэтому является высотой и биссектрисой треугольника . Получаем, что точки и симметричны относительно прямой , так что В окружности по теореме о пересекающихся хордах Тогда откуда сразу получаем ответ.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

В ходе первого решения мы выяснили, что . То есть прямые и симметричны относительно биссектрисы угла . А во втором решении замечено, что — середина стороны

Тогда оказывается, что точка лежит на симедиане треугольника . А сама задача тесно связана со следующим фактом: окружность, проходящая через концы одной диагонали гармонического четырёхугольника и центр описанной около него окружности, делит другую его диагональ пополам. Вы могли встретить его в такой задаче: пусть — центр описанной около треугольника окружности, — середина стороны описанные около треугольников и окружности вторично пересекаются в точке Тогда прямые и симметричны относительно биссектрисы угла