Гармонический четырёхугольник
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— диаметр окружности 
, 
— окружность с центром в точке 
и радиусом меньше, чем у 
. Окружности 
и 
пересекаются в точках 
и 
. Хорда 
окружности 
пересекает вторую окружность 
в точке 
. Найдите длину отрезка 
,
если 
.
Источники:
Подсказка 1
Давайте продлим отрезок OB до пересечения с окружностью ω и назовём точку их пересечения N, аналогично продлим DB и назовем их точку пересечения M. Что тогда можно сказать про углы ABC, DBA и MBN?
Подсказка 2
Дуги OC и OD равны в силу симметрии относительно диаметра OP. Значит, ∠ABC = ∠DBA, а ∠DBA и ∠MBN равны, как вертикальные. Что тогда можно сказать про точки M и C, а также отрезки BC и BM?
Подсказка 3
Точки M и C симметричны относительно перпендикуляра к AB, проходящего через точку B, следовательно, отрезки BC и BM будут равными. По условию нам дано CB*BD = 5, следовательно, MB*BD = 5. На какую теорему нам сразу же намекает такое произведение?
Подсказка 4
Когда мы видим произведение отрезков одной хорды, то сразу же нужно вспомнить теорему о пересекающихся хордах, запишем её: MB*BD = AB*BN. Отлично, теперь у нас появилось нужное нам AB, но также появился отрезок BN, про который нам ничего неизвестно. Подумайте, как можно заменить BN?
Подсказка 5
Давайте заметим, что треугольник APN – равнобедренный, а ∠ABP = 90°, в таком случае отрезок PB является высотой и медианой, а BN = AB.
Пусть 
и 
– вторые точки пересечения с окружностью 
прямых 
и 
соответственно. В силу симметрии относительно
прямой 
, дуги 
и 
равны. Следовательно, 
Первое решение.
Обозначим эти равные углы через 
. Из вписанности четырёхугольника 
получаем, что 
. Следовательно,
поскольку 
– центр 
, имеем 
C другой стороны, 
. Вычитая общую дугу 
,
получаем, что 
, откуда 
Значит, 
, и треугольники 
и 
подобны по двум углам, откуда 
, так что
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Заметим, что 
, как вписанный угол в окружности 
, опирающийся на её диаметр 
, поэтому 
является высотой и
биссектрисой треугольника 
. Получаем, что точки 
и 
симметричны относительно прямой 
, так что 
В
окружности 
по теореме о пересекающихся хордах 
Тогда 
откуда сразу получаем
ответ.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание.
В ходе первого решения мы выяснили, что 
. То есть прямые 
и 
симметричны относительно
биссектрисы угла 
. А во втором решении замечено, что 
— середина стороны 
Тогда оказывается, что точка 
лежит на симедиане треугольника 
. А сама задача тесно связана со следующим фактом:
окружность, проходящая через концы одной диагонали гармонического четырёхугольника и центр описанной около него
окружности, делит другую его диагональ пополам. Вы могли встретить его в такой задаче: пусть 
— центр описанной
около треугольника 
окружности, 
— середина стороны 
описанные около треугольников 
и 
окружности вторично пересекаются в точке 
Тогда прямые 
и 
симметричны относительно биссектрисы угла
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
