Гармонический четырёхугольник

Вписанный четырёхугольник, касательные к описанной окружности которого из противоположных вершин пересекаются на диагонали, это гармонический четырёхугольник. Но для такого четырёхугольника верно, что если хотя бы одна из диагоналей содержит точку пересечения соответствующих касательных, то и вторая тоже. То есть для решения задачи достаточно показать, что пройдёт через точку пересечения общих касательных в точках и Но ведь общая хорда окружностей является радикальной осью, так что точка пересечения касательных, которая имеет равную степень относительно окружностей, обязана лежать на

Поясним это: предположим, что касательные в точках и пересеклись в точке а не проходит через точку Проведём прямую которая пересечёт и в точках и причём Однако в силу равенства имеем то есть проходит через откуда и следует требуемое.

Замечание. Если и диаметрально противоположны, то есть касательные в них параллельны, то вся конструкция симметрична относительно прямой а касательные в симметричных относительно неё точках пересекутся на самой прямой. Иначе говоря, в этом случае все центры окружностей лежат на одной прямой, откуда и следует симметрия.