Гармонический четырёхугольник
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две неравные окружности 
и 
касаются внутренним образом окружности 
в точках 
и 
Пусть 
и 
точки пересечения
окружностей 
и 
Прямая 
пересекает 
в точках 
и 
Докажите, что касательные к 
проведенные в точках 
и 
пересекаются на прямой 
Подсказка 1
Надо доказать, что касательные в точках E и F пересекаются на AB. А каким тогда должен оказаться четырёхугольник ABEF?
Подсказка 2
Гармоническим! Может быть, нам удобнее пересекать касательные в точках А и B с EF? Согласны, что если эти прямые пересекутся в одной точке, то четырёхугольник окажется гармоническим?
Подсказка 3
А ведь это будет проверять попроще из-за того, что нам дано касание окружностей. А это означает, что они имеют общую касательную. Как же связать пересечение касательных к двум окружностям и их общую хорду?
Подсказка 4
Вспоминаем радикальные оси! Нет, сейчас будет не страшно, давайте просто обсудим школьный факт, что произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. Но если эта секущая является общей хордой двух окружностей, то и отрезки касательных к обеим окружностям будут равны!
Подсказка 5
Почему равенство отрезков касательных означает требуемое? Проанализируйте ещё раз всю конструкцию с тремя окружностями! А если не получится, перечитайте подсказки. Да, задача здесь заслужила размышлений... Кстати, а что если касательные к окружностям не пересекаются вовсе? Вспомните про вырожденный случай гармонического четырёхугольника. Анализ конструкции должен быть полным! Вы ведь абсолютная дикая машина, если добрались до этой задачи и можете вгрузиться в геометрию на уже достаточно серьёзном уровне! Вы умничка :)
Вписанный четырёхугольник, касательные к описанной окружности которого из противоположных вершин пересекаются на диагонали, это
гармонический четырёхугольник. Но для такого четырёхугольника верно, что если хотя бы одна из диагоналей содержит точку пересечения
соответствующих касательных, то и вторая тоже. То есть для решения задачи достаточно показать, что 
пройдёт через точку
пересечения общих касательных в точках 
и 
Но ведь общая хорда окружностей 
является радикальной осью,
так что точка пересечения касательных, которая имеет равную степень относительно окружностей, обязана лежать на
Поясним это: предположим, что касательные в точках 
и 
пересеклись в точке 
а 
не проходит через
точку 
Проведём прямую 
которая пересечёт 
и 
в точках 
и 
причём 
Однако в силу
равенства 
имеем 
то есть 
проходит через 
откуда и следует
требуемое.
Замечание. Если 
и 
диаметрально противоположны, то есть касательные в них параллельны, то вся конструкция симметрична
относительно прямой 
а касательные в симметричных относительно неё точках пересекутся на самой прямой. Иначе говоря, в этом
случае все центры окружностей лежат на одной прямой, откуда и следует симметрия.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
