Гармонический четырёхугольник
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две неравные окружности 
и 
касаются внутренним образом окружности 
в точках 
и 
Пусть 
и 
точки пересечения
окружностей 
и 
Прямая 
пересекает 
в точках 
и 
Докажите, что касательные к 
проведенные в точках 
и 
пересекаются на прямой 
Подсказка 1
Надо доказать, что касательные в точках E и F пересекаются на AB. А каким тогда должен оказаться четырёхугольник ABEF?
Подсказка 2
Гармоническим! Может быть, нам удобнее пересекать касательные в точках А и B с EF? Согласны, что если эти прямые пересекутся в одной точке, то четырёхугольник окажется гармоническим?
Подсказка 3
А ведь это будет проверять попроще из-за того, что нам дано касание окружностей. А это означает, что они имеют общую касательную. Как же связать пересечение касательных к двум окружностям и их общую хорду?
Подсказка 4
Вспоминаем радикальные оси! Нет, сейчас будет не страшно, давайте просто обсудим школьный факт, что произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. Но если эта секущая является общей хордой двух окружностей, то и отрезки касательных к обеим окружностям будут равны!
Подсказка 5
Почему равенство отрезков касательных означает требуемое? Проанализируйте ещё раз всю конструкцию с тремя окружностями! А если не получится, перечитайте подсказки. Да, задача здесь заслужила размышлений... Кстати, а что если касательные к окружностям не пересекаются вовсе? Вспомните про вырожденный случай гармонического четырёхугольника. Анализ конструкции должен быть полным! Вы ведь абсолютная дикая машина, если добрались до этой задачи и можете вгрузиться в геометрию на уже достаточно серьёзном уровне! Вы умничка :)
Касательные в противоположных вершинах вписанного четырёхугольника к его описанной окружности пересекаются на диагонали тогда и
только тогда, когда четырёхугольник является гармоническим, следовательно, достаточно проверить, что касательные в точках 
и 
пересекаются на прямой 
Последнее верно, поскольку 
является радикальной осью окружностей 
и 
на которой лежит точка 
потому что имеет
степени точки, равные длине касательной из 
к окружности 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
