Гармонический четырёхугольник

Пусть – середина – точка пересечения диагоналей. По свойству симедианы и Получаем, что откуда с учётом свойства биссектрисы имеем, что основания биссектрис треугольников и на стороне совпадают. Но тогда точка пересечения биссектрис треугольника лежит на то есть — тоже биссектриса этого треугольника. Следовательно,

Пусть описанная окружность треугольника пересекает прямую в точке Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны: Из этих двух равенств по теореме о сумме углов в треугольнике следует

Значит, лучи и совпадают. Тогда и их точки пересечения с прямой совпадают: а четырёхугольник из условия является гармоническим (он вписан в окружность и произведения противоположных сторон равны). У гармонического четырёхугольника обе диагонали являются симедианами соответствующих треугольников, так что утверждение задачи получено.