Гармонический четырёхугольник
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямые, симметричные диагонали 
четырехугольника 
относительно биссектрис углов 
и 
проходят через середину
диагонали 
Докажите, что прямые, симметричные диагонали 
относительно биссектрис углов 
и 
проходят через середину
диагонали 
Подсказка 1
Ура, опять задача про диагонали гармонического четырёхугольника! Постойте-ка. Внимательно читаем условие, а там... нет вписанности. И что же делать?
Подсказка 2
Вписанность нужно доказать! Только вписанный четырёхугольник может называться гармоническим, тогда сведём задачу к хорошо известной.
Подсказка 3
Мой дед однажды дал такой совет: не знаешь, как доказывать, --- попробуй от противного! Давайте прислушаемся к совету опытных людей и отметим якобы другую точку D' на прямой BD, которая лежит на описанной около ABC окружности. Что тогда можно сказать?
Подсказка 4
А вот и возник гармонический четырёхугольник! Что мы про него помним? Например, имбовый факт, что стороны BC и CD' видны под одним и тем же углом из середины диагонали AC. Супер. Тогда осталось доказать, что CD видна под тем же углом
Подсказка 5
Вам нужно доказать, что AC является биссектрисой в треугольнике с вершинками B,D и серединой диагонали AC, Ну же, осталось совсем чуть-чуть! Покажите свою геометрическую мощь и знания симедиан
.png)
Пусть 
– середина 
– точка пересечения диагоналей. По свойству симедианы 
и 
Получаем, что 
откуда с учётом свойства биссектрисы имеем, что основания биссектрис треугольников 
и 
на стороне 
совпадают. Но тогда точка пересечения биссектрис треугольника 
лежит на 
то есть 
— тоже биссектриса
этого треугольника. Следовательно, 
Пусть описанная окружность треугольника 
пересекает прямую 
в точке 
Вписанные углы, опирающиеся на одну
дугу равны: 
Из этих двух равенств по теореме о сумме углов в треугольнике следует
Значит, лучи 
и 
совпадают. Тогда и их точки пересечения с прямой 
совпадают: 
а четырёхугольник 
из
условия является гармоническим (он вписан в окружность и произведения противоположных сторон равны). У гармонического
четырёхугольника обе диагонали являются симедианами соответствующих треугольников, так что утверждение задачи
получено.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
