Гармонический четырёхугольник

Первое решение.

Пусть в окружности около градусная мера дуги равна , дуги — Тогда , а В окружности около равны вписанные углы, поэтому и сумма противоположных углов равна , поэтому В силу того, что , получаем . Вписанный четырёхугольник с таким свойством является гармоническим, а его диагонали содержат симедианы соответствующих им треугольников.

Второе решение.

Пусть прямая, симметричная относительно биссектрисы, пересекается с описанной окружностью в точке Тогда четырёхугольник — гармонический, а его диагональ является биссектрисой Угол составляет половину от угла и равен полусумме градусных мер дуг и . А дуга равна дуге , так как они опираются на равные углы. Отсюда сам угол равен сумме градусных мер дуг и , то есть градусной мере дуги , которой также равен центральный угол

Итак, углы и равны, поэтому точка лежит на описанных окружностях и следовательно, совпадает с точкой из условия задачи.

Третье решение.

Пусть касательные к описанной окружности треугольника из точек и пересекаются в точке . Заметим, что эти касательные не могут быть параллельны, ведь тогда и , а по условию нам дан треугольник

Пусть пересекается с описанной около окружностью в точке По теореме о касательной и секущей

Из прямоугольного (, как угол между касательной и радиусом), в котором — высота:

ИЗ следует, что точка лежит на описанной окружности треугольника , а из построения — на описанной окружности треугольника . Но окружности не могут пересекаться в трёх различных точках , так что .

Осталось заметить, что по основной теореме о симедиане прямая симметрична медиане относительно его биссектрисы.

Замечание.

Cама задача выражает следующий факт: окружность, проходящая через концы одной диагонали гармонического четырёхугольника и центр описанной около него окружности, делит другую его диагональ пополам.