Гармонический четырёхугольник
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— вписанный четырехугольник, в котором биссектрисы углов 
и 
пересекаются на диагонали 
Докажите, что
биссектрисы углов 
и 
пересекаются на диагонали 
Подсказка 1
Так, биссектриса пересекает сторону в конкретной точке, хмм… А какой факт мы тогда помним при такой картинке?
Подсказка 2
Верно, в каком отношении биссектриса делит сторону. Тогда верны следующие равенства: BX/DX = AB/AD и BX/DX = BC/CD. Но тогда AC*CD=BC*AD. Значит, наш четырехугольник гармонический. Можно ли теперь, зная последнее равенство, провести обратные рассуждения в отношении двух других углов и диагонали AC?
Подсказка 3
Ну конечно можно, нужен обычный советский… Счет в отрезках! Действительно, если биссектриса угла D пересекла диагональ AC в точке Y, то что можно сказать про отношение AY/YC? А если подключить полученное ранее равенство AC*CD=BC*AD?
Пусть 
— точка пересечения биссектрис углов 
и 
По основному свойству биссектрисы для треугольников 
и 
имеем
Приравнивая отношения отрезков, получим 
Пусть 
— биссектриса треугольника 
тогда 
но последнее отношение, как следует из доказанного
равенства, равно 
но тогда 
также является основанием биссектрисы угла 
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание. В решении мы не пользовались выписанностью четырехугольника.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
