Гармонический четырёхугольник
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырехугольник 
вписан в окружность 
с центром 
Биссектриса угла 
пересекает отрезок 
в точке 
и
окружность 
второй раз в точке 
Биссектриса угла 
пересекает отрезок 
в точке 
и окружность 
второй раз в точке
Известно, что прямые 
и 
параллельны. Докажите, что описанная окружность треугольника 
проходит через середину
отрезка 
Подсказка 1
Мало у каких четырехугольников середина диагонали - хорошая точка. А у каких хорошая? У гармонических. Поймете, где на чертеже должен быть гармонический четырехугольник.
Подсказка 2
Оказывается, BDMN должен быть гармоническим. Как это сделать? Какие точки полезно отмечать у гармонических четырехугольников?
Подсказка 3
В условии есть параллельность, она дает какие-то отношения, биссектрисы тоже дружат с отношениями. Из них получите, что BDNM - гармонический. Отметьте точку пересечения касательных в точках M и N. После этого поймите, что все 5 точек M, O, N, середина BD и точка пересечения касательных, лежат на одной окружности.
Пусть 
Тогда 
так что прямая 
касается окружности 
Тогда 
Аналогично 
Поделив эти два равенства друг на друга, получаем, что
С другой стороны из параллельности прямых 
и 
получаем, что 
Тогда
То есть четырехугольник 
— гармонический. Обозначим через 
точку пересечения касательных, проведенных к окружности
в точках 
и 
Из вписанности, равенства углов между хордой и касательной, симметрией медианы и симедианы получаем
Тогда 
и середина 
лежат на одной окружности.
Но точка 
также лежит на этой окружности, так как углы 
и 
прямые.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
