Гармонический четырёхугольник

Так как угол между касательной и хордой равны, то

Тогда можно заметить:

Перепишем отношение .

Аналогично рассмотрим подобие

Так как отрезки касательных равны, то есть

Из этого равенства получаем:

Теперь докажем то, что требуется в задаче. Докажем от обратного: пусть касательные пересекаются не на диагонали. Тогда докажем, что точка и есть точка

Мы уже доказали, что, если касательные пересекаются на диагонали, то это гармонический четырёхугольник, следовательно Также верно, что так как это гармонический четырёхугольник. Запишем это в виде отношения:

Рассмотрим равенство Так как , a , то дробь , но такое невозможно. Поэтому точки и совпадают. Значит касательные пересекаются на диагонали гармонического четырёхугольника.