Гармонический четырёхугольник

1) Докажем, что если — симедиана, то — гармонический.

Пусть и

Вспомним следующее свойство симедианы: симедиана делит противоположную сторону в отношении квадратов прилежащих, то есть:

Обозначим По теореме синусов для треугольника

По теореме синусов для треугольника

Поделим неравенство на неравенство

Заметим, что и как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Теперь распишем теорему синусов для треугольника

Отсюда

То есть четырёхугольник гармонический по определению.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2) Предположим, что для гармонического четырёхугольника верно, что не является симедианой для треугольника Тогда проведём симедиану треугольника где точка лежит на окружности, описанной около Из пункта 1 четырёхугольник — гармонический.

Проведём касательные к окружности, описанной около в точках и Пусть эти касательные пересекаются в точке Тогда точка — это точка пересечения и описанной окружности, так как — гармонический, а так же точка является точкой пересечения и этой окружности, так как — гармонический. Получается, прямая пересекает окружность в трёх точках: и что невозможно. Получили противоречие, значит, если четырёхугольник гармонический, то — симедиана