Гармонический четырёхугольник

Сначала докажем, что если четырёхугольник гармонический, то где — середина диагонали

Так как — гармонический, то является симедианой треугольников и

Точка — середина AC, поэтому — медиана а — медиана Отсюда

так как медиана и симедина симметричны относительно биссектрисы. Так же заметим, что

как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

— внешний угол для треугольника поэтому

Аналогично, — внешний угол для треугольника поэтому

Отсюда,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Предположим, что вписанный четырёхугольник для которого верно, что где — середина диагонали не является гармоническим. Тогда построим гармонический четырёхугольник Пусть точка — точка пересечения касательных к описанной окружности в точках и Тогда точка — это точка пересечения прямой и описанной окружности.

Так как — гармонический, и — середина диагонали то как было доказано выше. Отсюда, что невозможно, как как точки и различны. Получили противоречие, следовательно, если для вписанного четырёхугольника верно, что где — середина диагонали то этот четырёхугольник — гармонический.