Периодичность и зацикливание

Пусть эта дробь является периодической и имеет какой-то предпериод длины и период длины После предпериода обязательно найдётся какая-то ненулевая цифра. Значит, период содержит ненулевые цифры. Однако, дробная часть содержит запись всех чисел вида Если взять достаточно большое то мы получим число, запись которого не входит в предпериод, и при этом его нули полностью покрывают один из периодов. Пришли к противоречию с наличием в периоде ненулевой цифры.