Периодичность и зацикливание
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Последовательность 
задана рекуррентным соотношением 
и начальным условием 
Найдите
![[x66000].](/api/latex-service/v1/GetSession/125651/index-4382e1e4e07bd0d2b4f8e404d4e3a787.svg)
(![[a]](/api/latex-service/v1/GetSession/125651/index-6f70c67f5330eef09b662965e123554b.svg)
— целая часть числа 
— дробная часть числа 
Источники:
Подсказка 1
Дробная часть, целая часть, ну и ну… А x_(n+1) = x_n + {x_n}, то чему равно x_(n+1) если использовать только дробные и целые части числа, а не само число?
Подсказка 2
Верно, x_(n+1) = [x_n] + 2*{x_n}. Значит, если смотреть только на дробную часть, то нетрудно доказать, что она будет равна дроби со знаменателем 67, а также, что числители дроби будут являться циклом, если рассмотреть последовательность целиком(как минимум, потому, что числитель n-ого члена последовательности сравним по модулю с 2^n, а остатки у 2^n по модулю 67 образуют цикл). А что можно тогда сказать, про члены, разность индексов которых равна 1 циклу?
Подсказка 3
Верно, во-первых, что(если длина цикла k и мы берем i-ый элемент), то {x_(i+k)} = {x_i}. Но тогда из этого следует, что x {x_(i+k)} - {x_i} = {x_(i+2k)} - {x_(i+k)}, так как {x_(i+2k)} = {x_(i+k)}. При этом, так как нам неважно, какая разность была между {x_(i+k)} и {x_i}, для вычисления x_(i+k+1), так как влияет только дробная часть, то будет выполнено, что
Подсказка 4
Верно, что можно просто найти эту разность(и цикл) и понять, в каком по порядке циклу лежит x_66000 и чему он соответствует в первом цикле и мы сможем в явном виде найти x_66000. Как это сделать? Начать писать все x_i, начиная с нулевого, пока в числителе дробной части не будет 0. А значит, осталось перебрать 66 значений(10 минут) и найти нужные значения!
Пусть оказалось так, что 
для некоторого 
. Тогда выполнено 
. Действительно, на каждой
следующей итерации мы учитываем только дробную часть исходного числа (целая же часть определяет только нашу “точку старта”).
Поэтому выполнено равенство 
. Также отсюда будет следовать ![[xk+i]− [xi]= [x2k+i]− [xk+i]](/api/latex-service/v1/GetSession/125652/index-f64214030c048d0d143a0284732514c3.svg)
, то есть наш сдвиг по целой
части будет таким же. Нетрудно видеть, что оба условия вместе дадут 
(если известно 
). Далее
остаётся только найти цикл нужной длины. Оказывается, что 
и выполнено 
, мы получили цикл,
получаем
![[x66000]= [x0+66⋅1000]= 1000 ⋅([x66− x0])= 1000⋅33= 33000](/api/latex-service/v1/GetSession/125652/index-3e67a77d6f54304b1e310999269e2b02.svg)
Замечание. Как же найти такой цикл, не считая вручную все 
значений до него? Во-первых, уже 
, что
явно нам намекает, когда мы снова встретим единицу (по сути мы каждый раз умножаем дробную часть на 2, поэтому
можно сразу сделать вывод, что на 
шаге, поскольку за столько же шагов результат возведётся в квадрат по модулю
). Во-вторых, уже на шестом шаге мы получим 
, поэтому далее можно попробовать идти по кратным
шести индексам, чтобы быстрее добраться до 
. Почему вообще всё это имеет смысл? Потому что 
делится и на
6, и на 33, и на 66 — именно в них мы и ждём больше всего увидеть цикл, чтобы задача после этого решилась быстро и
легко.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
