Периодичность и зацикливание

Подсказка 1

Давайте подумаем над тем, какой ответ. Если ответ да, то нам нужно доказать, что сумма цифр - это циклящийся параметр для последовательных чисел. При этом, чтобы доказать, что это так, нам нужно будет делать что-то нетривиальное, так как четность суммы цифр зависит только от самого числа, и никак не зависит от предыдущих (вернее, зависимость только из-за того, что числа идут последовательно). Сложно и непонятно. Давайте попробуем доказать, что ответ «нет».

Подсказка 2

Что тогда нам нужно доказать? Что если период T, то для любого n будет выполнено S(n) = S(n + T) mod 2, если обозначить S(x) - сумма цифр числа х. Значит, нам надо для любого числа из этой последовательности доказать, что существует не подходящее под это условие n.

Подсказка 3

По сути то, чего мы хотим добиться — это сменить четность суммы цифр прибавлением числа T. Ну или, что то же самое, подобрать такое число n, что n имеет одну чётность суммы цифр, а n + T уже другую. Чтобы не попортить цифры и сложить что-то удобное, можно взять число с 1 и многими нулями на конце. То есть если сумма цифр T нечетна, то можно взять n = 10^k, где k - число цифр T.

Подсказка 4

Подумайте, что делать, если сумма цифр четна. Может быть как-то поработать с цифрами T? Как-то менять их, чтобы сравнение опять не было выполнено.

Подсказка 5

Если работать с цифрами T, то лучше всего это делать с первой цифрой (как минимум, потому что второй может и не быть и нам придется разбирать случаи). Здесь все зависит от ее четности. Если это четная цифра, то мы можем добавить что-то, что переваливало бы за 9 и тогда бы вместо одной цифр становилось бы две и четность менялась бы. А так как у n и T была одинаковая четность по цифрам, то у n и n + T будет разная.

Подсказка 6

А если первая цифра нечетна? Подойдет ли такой же метод или нужно искать другой?