Периодичность и зацикливание

Предъявим такую последовательность. Будем чередовать блоки из чисел 1 и 2, каждый раз увеличивая количество единиц на одну:

Предположим противное. Пусть существует период длины Тогда найдётся момент, когда блок из единиц будет иметь длину, превышающую Поскольку после него идёт двойка, а затем снова блок из единиц, длина которого также больше мы можем выбрать такой блок бесконечно далеко, в том числе и за пределами предпериода. Пусть период частично попадает на начало этого блока, но из-за его длины весь следующий период будет состоять только из единиц. Однако период не может состоять только из единиц, так как в последовательности бесконечно много двоек. Получаем противоречие.