Среднее арифметическое в текстовых задачах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написаны десять чисел (среди которых могут быть равные) таких, что среднее арифметическое любых трёх из этих чисел тоже написано на доске. Доказать, что все эти числа равны между собой.
Подсказка 1
Хм, среднее арифметическое любых трёх чисел тоже записано на доске, довольно сильное заявление. А можем ли мы выбрать 3 числа так, чтобы точно определить, какое из чисел будет их средним арифметическим?
Подсказка 2
Можно упорядочить все числа - допустим это a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a₁₀, и выбрать 3 числа, идущие подряд - где тогда должно быть их среднее арифметическое?
Подсказка 3
Конечно, это число, стоящее посередине! А значит, можно записать много уравнений и поработать с ними, или присмотреться ещё к написанному равенству: если привести подобные слагаемые, что можно сказать об этих трёх числах, что они образуют?
Подсказка 4
Арифметическую прогрессию! А что будет с числом справа или слева от тройки, будет ли оно в той же прогрессии? Тогда какой вид имеют все числа на доске? Точно ли все средние арифметические записаны?
Подсказка 5
Получили, что все числа имеют вид a₁ + n ⋅ d, где d - разность прогрессии. Попробуйте теперь рассмотреть тройку не подряд идущих чисел - записано ли её среднее арифметическое на доске?
Предположим противное. Упорядочим данные числа и обозначим их за 
что 
Заметим, что если
мы рассматриваем тройку вида 
то в силу соображения, что среднее арифметическое чисел лежит между их минимумом и
максимумом, среднее арифметическое данной тройки будет равно 
Рассмотрим сначала тройку 
Следовательно, 
и 
образуют арифметическую прогрессию. При этом если её разность нулевая, т.е. эти числа равны, то,
рассматривая тройки вида 
мы получим, что все числа равны, поэтому данная прогрессия имеет ненулевую
разность.
Аналогично рассмотрев тройку 
показываем, что эти числа тоже образуют арифметическую прогрессию. Пусть 
и
— это арифметическая прогрессия с ненулевой положительной разностью 
тогда 
и 
Рассмотрим тройку
Но такого числа нет на доске, противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
