Среднее арифметическое в текстовых задачах

Пусть — средний доход всех жителей города, а — количество жителей. Тогда суммарный доход всего города равен

Предположим, что высказанное утверждение верно, то есть средний доход самых богатых жителей равен Но тогда суммарный доход только богатых жителей равен А это уже больше, чем доход ВСЕГО города.

Доля от положительного числа не может быть больше самого числа — получили противоречие. Значит, это выдумки.

Решение. Пусть в компании было человек, тогда через 7 лет возраст каждого из них увеличился на 7 лет, значит, сумма их возрастов увеличилась на лет. Следовательно, средний возраст компании увеличился на лет.

Если каждую оценку умножить на 8, то и сумма этих оценок также увеличится в 8 раз. Количество оценок не изменилось, поэтому средний балл также увеличился в 8 раз.

Пусть после ухода одного баскетболиста осталось баскетболистов со средним ростом Тогда по условию откуда см.

Пусть первые полчаса пешеход шёл со скоростью 6 км/ч, вторые полчаса со скоростью 4 км/ч, третьи полчаса опять со скоростью 6 км/ч и так далее. На любом отрезке длиной 1 час пешеход ровно половину времени будет идти со скоростью 6 км/ч, а оставшееся время со скоростью 4 км/ч. Тогда средняя скорость пешехода за это время равна 5 км/ч. Но за всё время его средняя скорость равна

Пусть Джон сначала играл в команде, средний рост которой больше, чем рост Джона, тогда после его перехода средний рост команды увеличился. Если Джон перешёл в команду, где средний рост был меньше его роста, то после перехода средний рост этой команды увеличился.

Предположим, что это не так, тогда среди этих ста чисел есть наименьшее число а (возможно, что не единственное). Пусть и — числа, соседние с , тогда Так как или , то либо одно из чисел или меньше, чем , либо Первый случай противоречит нашему предположению, значит, эти три числа равны. Проведя аналогичное рассуждение для чисел и , получим, что соседние с ними числа также равны , и так далее, пока не рассмотрим все данные числа.

Предположим противное. Упорядочим данные числа и обозначим их за что Заметим, что если мы рассматриваем тройку вида то в силу соображения, что среднее арифметическое чисел лежит между их минимумом и максимумом, среднее арифметическое данной тройки будет равно

Рассмотрим сначала тройку

Следовательно, и образуют арифметическую прогрессию. При этом если её разность нулевая, т.е. эти числа равны, то, рассматривая тройки вида мы получим, что все числа равны, поэтому данная прогрессия имеет ненулевую разность.

Аналогично рассмотрев тройку показываем, что эти числа тоже образуют арифметическую прогрессию. Пусть и — это арифметическая прогрессия с ненулевой положительной разностью тогда и Рассмотрим тройку

Но такого числа нет на доске, противоречие.

Пусть эти числа , тогда из условия

Оба числа действительно положительны и разница между ними равна .