Тема Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Сравнение чисел

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела неравенства без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64371

Какое из чисел $55 21$ и $95 28$ ближе к $3?$

Показать ответ и решение

Расстояние между двумя числами это модуль их разности.

||55 || 8- ||21 − 3||= 21

|| || ||95− 3||= 11 28 28

-8 ? 11 21 28

8⋅28= 224< 11⋅21= 231

Значит, $55 21$ ближе.

Ответ:

$55 21$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77199

Сравните числа:

10 10 (10!) и (10 )!

Напомним, что через $n!$ обозначается произведение $1⋅2⋅3 ⋅...⋅n$ .

Показать ответ и решение

Левая часть это $10!$ десять раз. А правая часть это:

10 10 10 10 10 10 (10 )!= 10 ⋅(10 − 1)⋅(10 − 2)⋅(10 − 3)⋅...(10 − 9)⋅...⋅1

Тогда сравним $1010 − 9 и 10!$ .

9 10 10!= 1⋅2⋅3⋅...⋅10< 10⋅10⋅10⋅...⋅10= 10 < 10 − 9.

(Заменили каждый множитель $10!$ на $10$ )

Тогда можно сказать, что правая часть больше левой.

Ответ:

$(10!)10 <(1010)!$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#35301

Что больше: $19!$ или $1019$ ?

Показать ответ и решение

Разобьём множители в левой части на пары: $1$ и $19$ , $2$ и $18$ , и т.д. В общем виде: $10− k$ и $10+k$ . Сравним: $2 2 2 (10− k)(10 +k)= 10 − k < 10$ . Таким образом, произведение в каждой паре меньше $2 10$ , значит, правая часть будет больше.

Ответ: 10^19 больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#35302

Что больше: $9992$ или $1013$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Числа 999 и 101 не очень удобно возводить в степень. Можно ли оценить их как-то числами, которые легко возвести в степень?

Подсказка 2

Число 999 меньше 1000. А 1000 легко возводится в квадрат! Можно ли похожую оценку привести для числа 101?

Показать ответ и решение

В данном случае очень удобно сравнить оба числа с миллионом. Выполнены неравенства

2 2 3 3 999 < 1000 = 100 < 101,

поэтому правая часть больше.

Ответ: Второе выражение больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#35303

Что больше: $100!$ или $9999$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В выражении 100! почти все сомножители меньше 99, причем значащих сомножителей (больших 1) там ровно 99. Попробуем тогда попытаться доказать, что 100! меньше.

Подсказка 2

Верно! Как уже было отмечено, почти все сомножители меньше 99, так что неравенство почти доказано. Однако сомножитель 100 мешает. Возможно, если объединить его с каким-то другим сомножителем a в выражении 100! получится доказать, что 100a достаточно мало?

Подсказка 3

Верно! Очевидно, что 2×100 < 99×99. Как теперь доказать неравенство?

Показать ответ и решение

Заметим, что $100⋅2 <99⋅99$ . Тогда

99 100!=2 ⋅99⋅3⋅4⋅...⋅98< 99 .

Ответ:

Второе число больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#35305

Сравните числа $10000015$ и $99 9996$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что

5 5 30 6 6 1000001 >1000000 = 10 = 100000 > 99999 .

Ответ:

$10000015 > 999996$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#35306

Сравните числа $(202)!$ и $(20!)2$ .

Подсказки к задаче

Подсказка

В выражении (20!)² всего 40 сомножителей, а в произведении (20²)! целых 400 сомножителей, причем многие из них очень большие. Можно ли выбрать из (20²)! несколько больших сомножителей и доказать, что оно больше?

Показать ответ и решение

2 2 2 (20 )!=400!>1 ⋅2...⋅40 >(1⋅2...20) =(20!).

Ответ: Первое число больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#35307

Если к числу 100 применить 99 раз операцию “факториал”, то получится число A. Если к числу 99 применить 100 раз операцию “факториал”, то получится число B. Какое из этих двух чисел больше?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче к числам 99 и 100 операция "факториал" применяется разное количество раз. А можно ли вместо этих чисел рассмотреть какие-то другие так, чтобы операцию факториал к ним можно было применить одинаковое число раз?

Подсказка 2

Верно! Вместо 99 можно рассмотреть 99! и применить к нему операцию 99 раз. Какое тогда из чисел больше?

Показать ответ и решение

Заметим, что $99!> 100$ . Применив к обеим частям неравенства 99 раз операцию “факториал”, получаем требуемое неравенство.

Ответ: Число В больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#64521

Определите, какое из двух чисел больше: $∘3-+2√2 +∘3-−-2√2-$ или $3.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 223, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно сравнивать между собой положительные числа? Как мы можем избавиться от некоторых корней?

Подсказка 2

Можно просто сравнить квадраты данных чисел!

Показать ответ и решение

∘ ---√-- ∘ ----√- a= 3+ 2 2+ 3− 2 2> 0

2 √ - ∘ ----√- ∘ ---√-- √- ∘ 2----√-2- a = 3+2 2+2 ⋅ 3+ 2 2⋅ 3− 2 2 +3− 2 2= 6+ 2⋅ 3 − (2 2) =8

Поскольку $a> 0$ , то $a= √8 <3 =√9-$ .

Ответ: второе

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#64523

Определите, какое из двух чисел больше: $√315$ или $9√14.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 226, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Заметим, что 9 можно представить как √3 в некоторой целой степени, после этого мы сможем перейти к сравнению показателей) А чтобы сравнить получившиеся показатели степени, удобно будет просто сравнить их квадраты

Показать ответ и решение

Чтобы сравнить было проще, сделаем одинаковыми основания, используя $9= √34$ , тогда нам требуется сравнить $√315$ и $√34⋅√14-$ , или, что то же самое, $15$ и $√-- 4⋅ 14$ . Достаточно возвести равенство в квадрат, тогда $2 2 15 = 225> 4 ⋅14 =224$ , откуда первое число больше.

Ответ: первое

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#64524

Определите, какое из двух чисел больше: $√3+ √7+ √21$ или $9.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 227, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Корней очень много, поэтому от них надо избавляться путем возведения в квадрат!

Показать ответ и решение

Покажем, что второе число больше. Перепишем неравенство в виде

√- √- √-- √- √- √- √- √ - √ - √- 3+ 7+ 21< 9⇐ ⇒ 7+ 21< 9− 3⇐ ⇒ 7(1 + 3) < 3(3 3− 1)

Далее возведём в квадрат

√-2 √- 2 √ - √ - 7(1+ 3) <3(3 3− 1) ⇐ ⇒ 7+ 14 3+21< 81− 18 3+3 ⇐⇒

⇐ ⇒ 32√3-< 56⇐⇒ 4√3 <7 ⇐⇒ 48< 49

Последний переход также был возведением в квадрат. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: второе

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#92993

Сравните числа $100-⋅ 102-⋅...⋅ 1020-⋅ 1022- 101 103 1021 1023$ и $5. 16$

Источники: ПВГ - 2022

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем как-то телескопировать произведение в левой части неравенства. Для этого умножим его на число B = 101/102 × 103/104 × ... × 1023/1024. Пусть левая часть неравенства равна A. Можно ли сравнить A и B?

Подсказка 2

Конечно, n/(n+1) < (n+1)/(n+2), поэтому A < B! Теперь, зная число AB, можно ли доказать неравенство?

Показать доказательство

Заметим, что $-n-< n+1. n+1 n+2$ Поэтому

100 102 1020- 1022 A = 101 × 103 × ...× 1021 × 1023 <

101 103 1021 1023 < 102 × 104 × ...× 1022-× 1024-=B

Перемножив и сократив дроби, получим $( ) A ×B = 1100204 =22556 = 5162.$ С другой стороны, поскольку $A <B,$ то $( ) A2 < A× B = 516-2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#48745

Что больше: число $3∘5√13-+18− 3∘5-√13−-18-$ или наибольший корень уравнения $x2+$ $2020x− 6069 =0$ ?

Источники: ПВГ-2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем просто найти второе число! Например, по теореме Виета можно найти наибольший корень этого квадратного уравнения.

Подсказка 2

Давайте обозначим первый страшный корень за а, а второй за б. Тогда заметим, что мы можем найти аб и а³-б³! А нам как раз надо найти а-б, а мы можем попробовать найти (а-б)³!

Подсказка 3

Если обозначить а-б за х, то мы можем получить кубическое уравнение, которое у вас получится решить и сравнить два числа!

Показать ответ и решение

Наибольший корень уравнения $x2+ 2020x− 6069= 0$ равен $3$ ( $− 2023+3 =− 2020,−2023⋅3= −6069 =⇒$ по обратной теореме Виета числа $3$ и $− 2023$ являются корнями уравнения $2 x +2020x − 6069= 0).$

Обозначим $∘3-√------ 3∘ -√------ a = 5 13+ 18,b= 5 13− 18.$

Отметим, что $3 3 3∘--√--2----2 3√------- a − b = 18− (−18)=36,a⋅b= (5 13) − 18 = 325− 324 =1.$ Тогда имеем:

(a− b)3 = a3− 3a2b+ 3ab2− b3 = (a3− b3)− 3ab(a− b)=36− 3(a − b)

Получается, что число $a− b$ является одним из корней уравнения

3 t = 36− 3t

которое равносильно

t3− 3t2+ 3t2− 9t+12t− 36 =0 ⇐ ⇒ (t− 3)(t2+ 3t+12)= 0

Так как $t2+3t+ 12= 0$ не имеет действительных корней, то единственным корнем уравнения является $t= 3.$

В итоге $a− b=3.$

Ответ:

ничего, эти числа равны

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#48739

Что больше:

23 41- 71- 1 или 93 + 165 + 143?

Источники: ОММО-2019, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, можно привести правую часть неравенства к общему знаменателю, но нужно ли… Можем ли мы как-то оценить каждое слагаемое справа по отдельности?

Подсказка 2

Давайте попробуем как-то оценить сумма справа! Например, заметим, что 93 это почти 92 (23*4), 165 почти 164 (41*4), а 143 почти 142 (71*2). Попробуйте применить это знание на практике!

Подсказка 3

23/93 < 1/4; 41/165 < 1/4; 71/143 < 1/2. Что можно сказать про сумму?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Можно, конечно, привести всё к общему знаменателю, но делать этого не хочется, поскольку надо будет много считать. Давайте лучше оценим каждое слагаемое по отдельности:

23 23 1 93 < 92 = 4

41 41 1 165 < 164 = 4

71-< 71-= 1 143 142 2

Складывая эти три неравенства, получаем, что сумма дробей меньше $14 + 14 + 12 = 1.$ _______________________________

Второе решение.

Без каких-либо раздумий аккуратно считаем и забираем свои баллы за эту задачу:

23 41- 71- 93 + 165 + 143 =

23⋅165-⋅143+-93⋅41-⋅143+-93⋅165⋅71 = 93⋅165 ⋅143 =

542685+ 545259+1089495 = -------2194335-------=

[ ] = 2177439= 65983- <1 2194335 66495

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#79623

Найдите какие-нибудь целые числа $A$ и $B$ , для которых выполняется неравенство:

√- 0,999< A+ B 2 <1

Источники: Межвед-2019, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что для целых x и y выражение вида (x + y√2)ⁿ для всех n будет принимать тот же вид, то есть (x + y√2)ⁿ = x₁ + y₁√2, где x₁ и y₁ тоже целые числа.

Подсказка 2

Если найти такие целые x и y, что (x + y√2)ⁿ будет больше нуля, но меньше 0.001 при каком-то n, то 1 - (x + y√2)ⁿ будет в нужном нам по условию диапазоне. Какие x и y могут подойти для этого?

Подсказка 3

При x = -1 и y = 1 мы сможем получить число в промежутке от 0 до 0.001, так как √2 – 1 < 1/2. Тогда какой степени n точно будет достаточно, чтобы (√2 - 1)ⁿ было меньше 0,001?

Подсказка 4

√2 – 1 < 1/2, значит, (√2 - 1)¹⁰ < (1/2)¹⁰ < 1/1024 < 1/1000. Остается найти (√2 - 1)¹⁰ и вычесть данное число из единицы!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Мы знаем, что $√- 1.414213562< 2< 1.414213563$ . Давайте посчитаем приближения $√- x⋅ 2$ для маленьких $x$ и найдем какое-то число, которое будет близко к целому. Получим, что $√- 7.07106781< 5 2< 7.071067815$ . Теперь давайте посмотрим на $√- (5 2− 7)y$ и найдем такое $y$ , чтобы это число было близко к 1. Получим $√- 0.99494934< 14(5 2 − 7)< 0.99494941$ . Повторим эту операцию еще раз уже для $√- √ - 0.00505059< (1− 14(5 2− 7))t= (99− 70 2)t< 0.00505066t$ . Тогда при $t= 198$ мы получаем $√- 1 <198(99− 70 2)< 1.00003068$ . Значит, $√ - 0.999< 2− 198(99− 70 2)< 1$

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что $√- 2B2−A2 A+ B ⋅ 2= B√2−A-$ . Давайте найдем такие положительные $x$ и $y$ , что $2 2 |x − 2y |=1$ и $√- x+ y 2> 1000$ . Их можно таким способом. Начнем с $x =y =1$ . Для этой пары выполняется первое условие, но не выполняется второе. Заменим ( $x$ , $y$ ) на ( $x+2y$ и $x+ y$ ). Тогда $|(x+ 2y)2− 2(x +y)2|=|− x2− 2y2|=1$ и первое условие остается выполненным, а $√- x+ y 2$ увеличивается хотя бы на 1. Значит, такими операциями мы когда-то дойдем до нужных $x,y$ .

(1,1)→ (3,2)→ (7,5)→ (17,12)→ (41,29)→ (99,70)→ (239,169)→ (577,408)

Значит, при $x= 577$ и $y = 408$ мы знаем, что $2 2 x − 2y =1$ (так как знак постоянно меняется) и $√- x+ y 2> 1000$ . Значит,

1 x2− 2y2 √- x2 − 2y2 1− 1000 < 1− x+-y√2-=1 − (x− 2y)=1 −-x+y√2-< 1

Ответ:

$A = −3362, B = 2378$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92338

Какое из чисел больше: $┌││--∘--∘---∘-------- ∘13 19 13 19√13... ◟-------◝◜-------◞ 2017знаковкорня$ или $133∘19 13$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как-то очень много корней слева... Попробуйте возвести оба числа в квадрат.

Подсказка 2

Сократите одинаковые множители и возведите оба числа еще раз в квадрат.

Подсказка 3

А меняется ли после возведений в квадрат и сокращений правое число?

Показать ответ и решение

┌│--∘--∘------------ --- │∘ ∘ --√---- 3∘19 ◟13--19--1◝3◜-19-13...◞ ? 13 13 2017знаковкорня

Возведём обе части в квадрат:

∘ --∘----------- ∘--- ∘--√---- 2 3 192 13 19 13 19 13... ? 13 132

∘ -∘------------ ∘--- ∘ --√---- 3192 19 13 19 13... ? 13 132

И ещё раз в квадрат:

∘ -∘-------- ∘ --- 19 13 19√13-... ? 132 3 194 134

∘----------- ∘ --- 19 13∘ 19√13... ? 13⋅19⋅ 3 19 13

┌│--∘--∘------------ │∘ ∘ --√---- 3∘19- ◟13--19--1◝3◜-19-13...◞ ? 13 13 2015знаковкорня

В левой части мы избавились от двух корней, а в правой части после преобразований получили то, что и было до них. Значит, выполнив те же действия много раз, дойдём до:

-- ∘ --- √ 13 ? 133 19 13

Возведём обе части в 6-ую степень:

133 ? 136⋅ 192 132

1 <13⋅192

Значит, и в исходном сравнении правая часть больше.

Ответ:

$3∘ 19- 13 13$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#95685

Пусть $1< x <y <z$ — действительные числа. Какое из следующих выражений наибольшее, а какое — наименьшее: $x+ yz,y +zx,z+ xy?$

Источники: Лига открытий - 2018

Показать ответ и решение

Покажем, что $x+ yz > y+ zx.$ Перепишем это неравенство как $z(y − x)> y− x,$ что верно. Аналогично можно доказать и вторую часть неравенства.

Ответ:

$x +yz > y+ zx> z+xy$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#48743

Сравните $∘|8√3−-16|− ∘8√3-+16$ и наименьший корень уравнения $4x2 +21x+ 17 =0.$

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А давайте найдём корни квадратного уравнения! Меньший из них равен -17/4. Попробуем найти, чему равно выражение слева!

Подсказка 2

Так, очень много корней… А давайте посмотрим на квадрат разности двух корней, что про него можно сказать?

Подсказка 3

Да, квадрат разности корней равен 16, тогда сама разность по модулю равна 4. А чему именно она равна?

Подсказка 4

Поскольку первый корень меньше второго, то само выражение отрицательно! Поэтому оно равно -4. Осталось только сравнить!

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет корни $− 1$ и $− 17 4$ (сумма этих двух чисел равна $− 21 4$ , а произведение $17 4$ , так что это корни по обратной теореме Виета).

Так как $8⋅8⋅3< 16⋅16(3< 2⋅2),$ то $√ - √- |8 3− 16|= 16 − 8 3.$ Это число меньше, чем $√- 16+ 8 3,$ поэтому $∘ -√------ ∘ -√----- √-- c= |8 3 − 16|− 8 3+ 16= − c2.$

Посчитаем квадрат разности корней

√- √- ∘ -----√-------√-- √ ------- c2 =16− 8 3+ 8 3+ 16− 2 (16 − 8 3)(16+ 8 3)= 32− 2 256− 192= 16

В итоге сама разность корней $c =−4$ и она больше, чем наименьший корень уравнения $17 − 4-$ .

Ответ:

$∘ |8√3-− 16|− ∘8-√3+-16$ больше, чем наименьший корень уравнения $4x2+ 21x +17= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#92992

Что больше: $20112011+ 20092009$ или $20112009 +20092011?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенства a > b и a - b > 0 эквивалентны. Попробуем вместо сравнения исходных чисел сравнить их разность с нулем. Как можно преобразовать разность, чтобы было удобно ее оценивать?

Подсказка 2

Конечно! Перегруппируем слагаемые так, чтобы получилась разность двух скобок, внутри каждой у степеней одинаковое основание, а затем вынесем общий множитель. Как теперь сравнить числа?

Подсказка 3

Верно! Используем, что 2011 > 2009 и докажем, что в разности какое-то из чисел больше.

Показать ответ и решение

Запишем разность двух чисел, которые хотим сравнить, и преобразуем её:

2011 2009 2011 2009 2011 + 2009 − (2009 + 2011 )=

2011 2009 2011 2009 = 2011 − 2011 − (2009 − 2009 )=

= 20112009(20112− 1)− 20092009(20092− 1)

Заметим, что $20112009 > 20092009 >0$ и $20112− 1 >20092− 1 >0.$ Следовательно, уменьшаемое больше вычитаемого, то есть разность положительна. Значит, первое число больше, будет знак $> .$

Ответ: