Рекурренты в комбинаторике и числа Фибоначчи f(n)

Первое решение. Обозначим Назовём последовательность из натуральных чисел, любые два соседних члена которой различаются не больше, чем на 2, интересной. Каждой интересной последовательности сопоставим разностную последовательность ).

Все члены разностной последовательности равны 0, или так что количество всевозможных разностных последовательностей равно

Посчитаем сначала количество всех интересных последовательностей, минимальный член которых не превосходит 5. Рассмотрим произвольную разностную последовательность Любые две интересные последовательности, соответствующие ей, отличаются прибавлением одного и того же числа к каждому члену. Значит, среди них ровно по одной последовательности с минимальным членом, равным 1, 2, 3, 4 или 5. Таким образом,

В учтены все последовательности, выписываемые Петей, и несколько лишних — тех, в которых не встречается ни 4, ни 5. Ясно, что, если в интересной последовательности встречаются как числа, большие 5, так и меньшие 4, то 4 или 5 также встретится. Но минимальный член каждой лишней последовательности не больше 3, значит, и все их члены не превосходят 3. Итак, все лишние последовательности состоят из чисел 1, 2 и 3. С другой стороны, каждая последовательность из чисел 1, 2 и 3 является интересной и, стало быть, лишней.

Итого, лишних последовательностей ровно а значит, искомое количество равно

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Назовём хорошей последовательность из натуральных чисел, в которой хотя бы раз встречается число 4 или 5, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 2. Обозначим через количество хороших последовательностей длины Мы докажем индукцией по что База индукции при очевидна.

Сделаем переход от к Рассмотрим произвольную -членную хорошую последовательность; пусть она оканчивается числом Тогда к ней можно приписать любое число от до полученная последовательность будет хорошей, если приписываемое число натуральное. Если же оно неположительно (то есть равно 0 или то после приписывания прибавим ко всем числам последовательности по 5. Полученная последовательность будет оканчиваться числом 4 или 5, а значит, будет хорошей.

Заметим, что все полученные последовательности — разные. Для последовательностей, полученных без прибавления 5, это очевидно; при этом таким образом получаются ровно все хорошие последовательности, среди первых членов которых есть 4 или 5. Последовательности же, полученные прибавлением 5, также попарно различны; при этом это — ровно все хорошие последовательности, первые членов которых больше 5, и при этом среди них встречается 9 или 10. В частности, эти последовательности отличны от описанных ранее. Итого, мы уже построили хороших -членных последовательностей.

Осталось подсчитать число ещё неучтённых последовательностей. В каждой неучтённой последовательности среди первых членов нет чисел 4, 5, 9 и 10, а последний член равен 4 или 5. Значит, либо первые её членов — единицы, двойки и тройки, либо все они — шестёрки, семёрки или восьмёрки. Посчитаем количество первых; количество вторых считается аналогично.

Рассмотрим любую последовательность из единиц, двоек и троек (её соседние члены автоматически отличаются максимум на 2). Если она оканчивается числом 3, то к ней можно приписать 4 или 5, получив неучтённую последовательность. Если она оканчивается числом 2, то можно приписать лишь 4; если же её последнее число — 1, то хорошую последовательность из неё получить нельзя. Значит, количество полученных неучтённых последовательностей равно (и ещё столько же получаются из последовательностей с числами 6, 7 и 8).

Итого, мы получаем

что и требовалось.