Подсчеты в клетчатых задачах
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Клетки квадрата 
заполнены нулями. За одну операцию можно выбрать квадрат 
состоящий из 
клеток, и прибавить по
ко всем числам в его клетках. При каком наибольшем 
после 
таких операций заведомо найдутся четыре клетки, центры которых
образуют квадрат (стороны которого не обязаны быть параллельными сторонам исходного квадрата), сумма чисел в которых не меньше
Подсказка 1:
Введите нумерацию строк и столбцов. Попробуйте выделить некоторое множество клеток так, чтобы каждый квадрат 4×4 содержал ровно одну клетку из этого множества.
Подсказка 2:
Логично рассмотреть клетки на пересечении столбцов и строк с номерами, кратными 4. Какие можно проделать рассуждения про сумму чисел в них после 2015 операций?
Подсказка 3:
Она равна 2015, потому что каждый квадрат содержит только одну такую клетку. Теперь можно попробовать выделить квадрат 3×3 с вершинами в рассмотренных клетках и поработать с ним.
Подсказка 4:
Попробуйте внутри этого квадрата выделить некоторые другие квадраты с вершинами в рассмотренных клетках так, чтобы каждая клетка содержалась в одинаковом количестве выделенных фигур. Тогда по принципу Дирихле вы сможете оценить сумму чисел в вершинах какого-то из квадратов.
Подсказка 5:
Каждая клетка должна быть учтена 4 раза, а квадратов должно быть 9. Значит, хотя бы в одном квадрате сумма должна быть больше, чем 895. Осталось построить пример, в котором не найдется квадрата с суммой 897 в вершинах.
Подсказка 6:
Для удобства построения сделайте 2016 ходов, а не 2015. Попробуйте заполнять клетки так, чтобы после всех ходов в клетке было либо 0, либо какое-то другое число x.
Пронумеруем строки и столбцы квадрата числами от 
до 
Рассмотрим клетки таблицы, которые стоят на пересечении строк и
столбцов с номерами, делящимися на 
Очевидно, каждый квадратик 
содержит ровно одну из них, поэтому после 
ходов
сумма чисел в них будет равна 
Выделим квадрат 
состоящий из этих клеток. В нем посчитаем один раз сумму чисел в четырех
квадратах 
три раза сумму в квадрате с вершинами в центрах угловых клеток и два раза в квадрате с вершинами в центрах клеток,
являющихся серединами сторон. В итоге число в каждой клетке мы посчитаем 
раза, поэтому хотя бы в одном квадрате сумма должна
быть больше, чем ![[4 ⋅2015∕9]= 895.](/api/latex-service/v1/GetSession/248883/index-ec84d52854e88578cbf51ea1d5e424ec.svg)
Построим пример для 
и 
ходов (для 
тогда тоже получится). Произвольный квадрат 
разбиваем на 
квадратов 
и к каждому 
раза применяем операцию прибавления 
В любом квадрате числа в вершинах на превосходят 
поэтому сумма их не превосходит 896.
При 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
