Подсчеты в клетчатых задачах

Предположим противное. Пусть столбцов, в которых стоит нечетное число шашек, штук, а строк, в которых стоит нечетное число шашек, штук. Тогда красивыми будут ровно клеток, стоящих на пересечении этих строк и столбцов. По условию, это равно Так как размеры сторон доски ограничены числом то единственный возможный случай — это или наоборот.

Пусть, не умаляя общности, именно в противном случае перевернем доску. Посчитаем количество поставленных на доску шашек по столбцам. Получим четное число, ведь мы сложим нечетных чисел и четных. Если же посчитать количество поставленных на доску фишек по строчкам, то мы сложим нечетных чисел и четных, то есть получим нечетное число. Но и в том, и в другом случае посчитано общее количество поставленных на доску шашек, а полученные два числа разной четности, противоречие.