Подсчеты в клетчатых задачах

Вместо букв будем записывать остатки при делении на или
Лемма. Для соседних двух строк и верно, что одна получается из другой изменением всех остатков на одну и ту же величину.
Доказательство леммы. Достаточно проверить, что разность между числами одного столбца внутри квадрата одна и та же. Обозначим остатки в квадратике как на рисунке.

Возможны два случая: a и — оставшиеся остатки, и а и — оставшиеся остатки.
Разберём первый случай. В нём и — три различных остатка. Тогда очевидно, что и дают одинаковые остатки при делении на так как их разность что даёт такой же остаток при делении на как и а это что делится на Второй случай рассматривается аналогично.
Перейдём к решению задачи. Предположим, что в первой строке нулей, единиц и двоек. Тогда все строки могут быть трёх видов, кроме указанного ещё могут быть строчки с двойками, нулями, единицами или с единицами, двойками, нулями. Заметим, что если мы выкинем по одной строчке каждого вида, то остатков в таблице по-прежнему будет поровну. Такими операциями можно добиться того, что останутся строки одного или двух видов. Если остался только один вид, то очевидно, что Разберём случай, когда осталось два вида. Можно считать, что это строки первого ( нулей, единиц и двоек) и второго вида ( двоек, нулей, единиц).
Предположим, что не все равны. Тогда среди них есть число, большее Можно считать, что это Будем использовать, что в оставшейся таблице нулей, единиц и двоек поровну. Поскольку в строчках первого вида нулей больше трети, а значит в строчках второго вида должно быть меньше трети, то есть Но тогда в строчках первого вида меньше трети единиц, значит, в строчках второго вида должно быть больше трети единиц, то есть Но тогда двоек больше трети во всех строчках, а значит и во всей таблице. Противоречие. Значит,