Подсчеты в клетчатых задачах

Обозначим вершины шестиугольника в порядке обхода по часовой стрелке где — нижняя левая вершина. Пронумеруем строки каждого направления числами от до где строка номер прилегает к стороне или соответственно. Для каждого треугольника-поля посчитаем сумму трёх координат — номеров строчек, в которых он расположен.
Будем считать, что высота треугольников на картинке равна и чёрные треугольники смотрят вершиной вверх. Выберем чёрный треугольник и заметим, что для его верхней вершины сумма расстояний до сторон и фиксирована и равна высоте треугольника, образованного пересечением прямых и то есть равна Действительно, в пересечении этих прямых лежит равносторонний треугольник, и известно, что сумма расстояний от любой внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника. Расстояние от ребра черного треугольника, параллельного до на больше, чем от верхней вершины, а до и от соответствующих ребер такое же, как и от верхней вершины. Вспомнив, как определялись координаты треугольника, получаем, что сумма его трёх координат равна Для белого треугольника, выбирая вершину, смотрящую вниз, и рассуждая аналогично, получаем, что сумма его трёх координат равна
Пусть ладей на чёрных полях тогда на белых ладей Посчитаем сумму координат всех ладей двумя способами: по ладьям и по рядам. Учтем, что во всех рядах стоит ровно по одной ладье, поскольку ладей столько же, сколько рядов, и они друг друга не бьют:

или что и требовалось.