Подсчеты в клетчатых задачах

Сначала мы покажем, что такая таблица существует, когда кратно Рассмотрим следующую доску которую назовем базовой.

Для где — натуральное число, мы формируем доску используя копий базовой доски. Для каждой строки и каждого столбца размером поскольку для любых девяти последовательных полей имеется три три и три количество вхождений букв и равны. Кроме того, каждая диагональ большой таблицы, количество полей которой делится на пересекает каждую копию базовой доски по диагонали с количеством записей, кратным (возможно, нулю). Следовательно, каждая такая диагональ также содержит одинаковое количество вхождений каждой из букв и

Далее рассмотрим произвольную доску для которой могут быть выполнены указанные условия. Количество вхождений букв в каждую из строк должно быть кратно следовательно где — натуральное число. Разобьем всю доску на копий квадратов Назовем поле в центре каждого квадрата важным полем. Назовем важной линию любую строку, столбец или диагональ, содержащую хотя бы одно важное поле. Посчитаем количество пар где — важная линия, а — поле, принадлежащая и содержащая букву Пусть это число будет

С одной стороны, поскольку каждая важная строка содержит одинаковое количество букв и очевидно, что каждая важная строка и каждый важный столбец содержат вхождений буквы Для важных диагоналей в любом направлении мы считаем, что существует ровно

вхождений Следовательно, имеем

С другой стороны, во всей таблице вхождений Заметим, что каждое поле принадлежит ровно или важным линиям. Следовательно, должно быть сравнимо с

В результате двойного подсчета мы получаем следовательно кратно Следовательно, должно быть кратно что завершает доказательство.