Подсчеты в клетчатых задачах

Предположим, что указанного квадрата не существует. Тогда в любом квадрате четное число белых клеток, т. е. если верхние клетки квадрата окрашены одинаково, то и нижние клетки окрашены одинаково, а если верхние клетки окрашены по-разному, то и нижние окрашены поразному.

Рассмотрим верхнюю строку таблицы и строку, стоящую под ней. Из сказанного следует, что эти строки либо окрашены одинаково (если их первые клетки окрашены одинаково), либо окрашены так, что под белой клеткой находится черная, а под черной — белая (если их первые клетки окрашены по-разному). Аналогичное утверждение справедливо для любых двух подряд идущих строк.

Заметим, что если мы перекрасим клетки какой-нибудь строки в противоположный цвет, а затем к полученной строке применим ту же операцию, то мы в результате получим исходную строку. Следовательно, в нашей таблице есть только два типа строк: первая строка и строка, полученная из нее перекрашиванием клеток в противоположный цвет.

Пусть в первой строке черных клеток, и строк такого типа в нашей таблице . Тогда число черных клеток в таблице равно

а белых клеток —

Их разность по условию равна т. е.

Так как а — простое число, то последнее уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Получили противоречие.