Подсчеты в клетчатых задачах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В клетках доски 
расставлены различные натуральные числа. Назовем квартетом четыре клетки на пересечении двух строк и двух
столбцов. Назовем квартет хорошим, если его клетки можно разбить на две пары, суммы чисел в которых будут равны. Какое наибольшее
число хороших квартетов может быть?
Подсказка 1
Кажется, что ничего не мешает получить "максимальный пример", то есть пример, когда все квартеты хорошие. Попробуем воплотить идею: противоположные клетки квартета должны быть искомым разбиением для хорошести. Как можно этого добиться?
Подсказка 2
Начнем с самой простой схемы заполнения доски 10 × 10: заполняем строки последовательными натуральными числами. А как можно продолжать, если строка кончится?
Подсказка 3
Действительно, можно просто продолжать точно так же заполнять с начала следующей строки. Работает ли такой пример?
Подсказка 4
В частных случаях для более маленьких досок можно убедиться, что все прекрасно работает. Только теперь хочется доказать корректность этого примера. А можно ли число в этой таблице однозначно определить по строке и столбцу, в которых оно стоит?
Подсказка 5
Конечно! Пусть число n находится в строке i и столбце j (пронумеруем их предварительно: строки сверху вниз, а столбцы слева направо числами от 0 до 9). Тогда n = 10i + j! А чему равна сумма чисел в противоположных клетках квартета?
Подсказка 6
Верно! Пусть у нашего квартета задействованы строки x, y и столбцы i, j. Отсюда сумма чисел в противоположных клетках равна 10(x + y) + i + j. Тогда получается, что каждый квартет правильный! А как посчитать теперь число квартетов в таком примере?
Пронумеруем строки и столбцы натуральными числами 
Тогда в клетке на пересечении строки 
и столбца 
поставим
число 
Понятно, что все числа будут различными. Рассмотрим прямоугольник со строками 
и столбцами 
Заметим, что
в каждой паре противоположных клеток сумма чисел будет равна 
То есть любой прямоугольник является хорошим.
Осталось лишь заметить, что количество прямоугольников равно 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
